Аналитическая геометрия

1.Координатные системы

• Декартова система координат - Используется для описания точек в плоскости (x,y) и пространстве (x,y,z)
• Полярная система координат - Точка задаётся радиусом и углом (r, Theta)
• Цилиндрическая и сферическая системы - Удобны для описания криволинейных объектов и движений в 3D-пространстве

2. Точки и векторы

• Точка - Определяется как позиция в пространстве. Например (x,y) или (x,y,z)
• Вектор - Направленный отрезок, задающий расстояние и направление
• Операции с векторами - Сложение и вычитание, Умножение на скаляр, Норма (длина) sqrtf(x*x, y*y, z*z)

3. Скалярное и векторное произведение

• Скалярное произведение - Применение: определение угла между векторами
• Векторное произведение - Применение: нахождение нормального вектора к плоскости, заданной двумя векторами

4. Прямая в пространстве

• Уравнения прямой - Векторное уравнение r(t) = r0 + td (где r0 начальная точка, d направление)
• Параметрические уравнения - x = x0 + tdx, y = y0 + tdy, z = z0 + tdz
• Скалярное уравнение - ax + by + c = 0

5. Плоскость в пространстве

• Общее уравнение - Ax + By + Cz + D = 0, где (A,B,C) нормальный вектор к плоскости
• Нормальный вектор - Указывает направление перпендикуляра к плоскости
• Задача на пересечение - Нахождение точки пересечения прямой и плоскости

6. Расстояния

• Расстояние между двумя точками - теорема Пифагора
• Расстояние от точки до прямой - Формула через модуль векторного произведения
• Расстояние от точки до плоскости

7. Параметрические и канонические уравнения

Каноническое уравнение — это уравнение, записанное в наиболее упрощённой, стандартной или "канонической" форме для данного объекта (например, прямой, плоскости, кривой). Такие уравнения позволяют легко понять основные свойства геометрического объекта.

Параметрические уравнения — это способ представления геометрических объектов (например, прямых, кривых, поверхностей) с помощью одной или нескольких переменных, называемых параметрами. Вместо записи зависимостей между x,y,z непосредственно, каждая из координат выражается через общие параметры, что даёт более гибкое описание.

• Параметрические и канонические уравнения используются для представления линий, кривых и поверхностей
• Круг и окружность - каноническое уравнение (x - x0)² + (y - y0)² = R ²
• Эллипс, парабола, гипербола

8. Преобразования

• Смещение (трансляция)
• Поворот вокруг оси - Поворот вокруг оси X,Y,Z
• Масштабирование - Увеличение/уменьшение объекта с помощью коэффициентов sx, sy, sz
• Отражение - Зеркальное отображение относительно плоскостей или прямых

9. Пересечения

• Пересечение прямой и плоскости - Решается подставлением параметрических уравнений прямой в уравнение плоскости
• Пересечение двух плоскостей - Их пересечение задаёт прямую
• Пересечение двух прямых - В пространстве прямые могут быть скрещивающимися

10. Кривые и поверхности

• Кривые второго порядка - Окружности, эллипсы, гиперболы
• Поверхности - Сфера, параболоид, гиперболоид и другие

11. Задачи преобразований

• Проекция точки или вектора - На плоскость, прямую, или нормаль
• Работа с базисами - Смена базиса для удобства вычислений в других системах координат

Сферическая система координат связана с описанием сферы, включая её параметрическое уравнение, но есть важные нюансы:

1. Уравнение сферы в Декартовой системе координат

Уравнение сферы в Декартовой системе выглядит как

(x - x0) ² + (y - y0) ² + (z - z0) ² = R ²

где x0, y0, z0 - центр сферы, R ее радиус

2. Сферическая система координат

Сферическая система координат описывает точку в 3D-пространстве с помощью трёх параметров

• Радиус r расстояние от точки до начала координат
• Полярный угол Theta θ угол между радиус-вектором и положительным направлением оси Z где 0 <= Theta θ < PI
• Азимутальный угол ϕ Phi угол между проекцией радиус-вектора на плоскость XY и положительным направлением оси X где 0 < = ϕ <= 2PI

Соотношения между Декартовой и сферической системами координат

	x = r * sin(θ) * cos(ϕ)
	y = r * sin(θ) * sin(ϕ)
	z = r * cos(θ)

3. Параметрическое описание сферы

Для сферы радиусом R, с центром в начале координат, в сферической системе координат точка на поверхности задаётся как

	x = r * sin(θ) * cos(ϕ)
	y = r * sin(θ) * sin(ϕ)
	z = r * cos(θ)

Где θ от 0 до PI и ϕ от 0 до 2PI

Эти уравнения являются параметрическим описанием сферы

Полярная система координат — это способ описания положения точки на плоскости с использованием двух значений: расстояния от фиксированной точки (полюса) и угла относительно фиксированной направления (полярной оси)

1. Основные элементы полярной системы

• Полюс O — начальная точка, аналог начала координат в декартовой системе
• Полярная ось — луч, выходящий из полюса, обычно совпадает с положительным направлением оси x в декартовой системе
• Полярные координаты r,θ где r: радиальная координата, расстояние от полюса до точки r≥0, θ: угловая координата, угол (в радианах или градусах) между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и точку. Значения угла обычно берутся от 0 до 2PI (или от 0 до 360 градусов)

2. Связь с декартовой системой координат

Переход между полярной и декартовой системами координат осуществляется с помощью следующих формул

• Из полярной в декартовую - x = r * cos(θ), y = r * sin(θ)
• Из декартовой в полярную - r = sqrtf(x *x + y * y), θ = arctan2(x,y) (Здесь arctan2(x,y) используется для правильного определения угла θ с учётом квадранта, в котором находится точка)

Полярная система координат — это система координат, применимая к двумерному пространству (2D)

Полярная система в 2D

В полярной системе каждая точка на плоскости определяется с помощью

• Радиуса r: расстояния от начальной точки (полюса) до заданной точки
• Угла θ: угла между полярной осью (аналог оси x) и направлением на заданную точку

Расширение в 3D: цилиндрическая и сферическая системы координат

Хотя полярная система — это строго 2D система, в трёхмерном пространстве (3D) её расширяют в виде цилиндрической и сферической систем координат

1. Цилиндрическая система координат (3D)

• Добавляется третья координата z, которая указывает высоту точки вдоль оси z
• Координаты (r,θ) описывают проекцию точки на плоскость XY, а z добавляет вертикальную составляющую
• Формулы перехода - x = r * cos(θ), y = r * sin(θ), z = z

2. Сферическая система координат (3D) - Здесь каждая точка описывается тремя координатами:

• r: расстояние от начала координат
• θ: угол между радиус-вектором и осью Z (полярный угол)
• ϕ: угол в плоскости XY между проекцией радиус-вектора и осью X (азимутальный угол)
• Формулы перехода - x= r * sin(θ) * cos(ϕ), y = r * sin(θ) * sin(ϕ), z = r * cos(θ)

Полярная система координат относится только к двум измерениям (2D). Для трёхмерного пространства её аналоги — цилиндрическая и сферическая системы координат